Coniche

Una sezione conica è la curva piana formata dall'intersezione di un piano e di un cono circolare a due facce. Un tale cono è mostrato nella Figura 1.

Il cono è la superficie formata da tutte le linee che passano per un cerchio e un punto. Il punto deve trovarsi su una linea, chiamata asse, che è perpendicolare al piano del cerchio al centro del cerchio. Questo punto è chiamato il vertice e ogni linea sul cono è chiamata generatrice. Le due parti del cono che giacciono su entrambi i lati del vertice sono nappe. Quando il piano intersecante è perpendicolare all'asse, la sezione conica è un cerchio (Figura 2).

Quando il piano intersecante è inclinato e taglia completamente uno dei pannolini, la sezione è un ovale chiamato ellisse (Figura 3).

Quando il piano intersecante è parallelo a una delle generatrici, taglia solo una falda. La sezione è una curva aperta chiamata parabola (Figura 4).

Quando il piano intersecante taglia entrambi i nappe, la sezione è un'iperbole, una curva con due parti, chiamate rami (Figura 5).

Tutte queste sezioni sono curve. Se il piano intersecante passa per il vertice, invece, la sezione sarà un unico punto, una sola retta, di una coppia di rette incrociate. Tali sezioni sono di minore importanza e sono note come sezioni coniche "degenerate".

Sin dai tempi antichi, i matematici hanno saputo che le sezioni coniche possono essere definite in modi che non hanno alcuna connessione evidente con le sezioni coniche. Una serie di modi è la seguente:

Ellisse: l'insieme di punti P tale che PF1 + PF2 è uguale a una costante e F1 e F2 sono punti fissi chiamati fuochi (Figura 6).

Parabola: L'insieme di punti P tale che PD = PF, dove F è un punto fisso chiamato fuoco e D è il piede della perpendicolare da P a una linea fissa chiamata direttrice (Figura 7).

Iperbole: l'insieme di punti P tale che PF1 - PF2 è uguale a una costante e F1 e F2 sono punti fissi chiamati fuochi (Figura 8).

Se P, F e D sono mostrati come in Figura 7, allora l'insieme di punti P che soddisfa l'equazione PF / PD = e dove e è una costante, è una sezione conica. Se 0 <e <1, la sezione è un'ellisse. Se e = 1, la sezione è una parabola. Se e> 1, la sezione è un'iperbole. La costante e è chiamata eccentricità della sezione conica.

Poiché il rapporto PF / PD non viene modificato da un cambiamento nella scala utilizzata per misurare PF e PD, tutto

sezioni coniche aventi la stessa eccentricità sono geometricamente simili.

Le sezioni coniche possono anche essere definite analiticamente, cioè come punti (x, y) che soddisfano una opportuna equazione. Un modo interessante per ottenere ciò è iniziare con un cono opportunamente posizionato nello spazio delle coordinate. Un cono con il suo vertice all'origine e con il suo asse coincidente con l'asse z ha l'equazione x2 + y2– kz2 = 0. L'equazione di un piano nello spazio è ax + by + cz + d = 0. Se

si usa la sostituzione per eliminare z da queste equazioni e combina termini simili, il risultato è un'equazione della forma Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 dove almeno uno dei coefficienti A, B e C sarà diverso da zero.

Ad esempio se il cono x2 + y2– z2 = 0 è tagliato dal piano y + z– 2 = 0, i punti comuni ad entrambi devono soddisfare l'equazione x2 + 4y– 4 = 0, che può essere semplificata da una traslazione degli assi in x2 + 4y = 0. Poiché, in questo esempio, il piano è parallelo a una delle generatrici del cono, la sezione è una parabola (Figura 9).

Si può seguire questa procedura con altri piani intersecanti. Il piano z– 5 = 0 produce il cerchio x2 + y2– 25 = 0. I piani y + 2z– 2 = 0 e 2y + z– 2 = 0 producono l'ellisse 12x2 + 9y2– 16 = 0 e l'iperbole 3x2– 9y2 + 4 = 0 rispettivamente (dopo una traslazione semplificata degli assi). Questi piani, guardando l'asse x, sono mostrati nella Figura 10.

Come illustrano questi esempi, le sezioni coniche opportunamente posizionate hanno equazioni che possono essere inserite nelle seguenti forme:

Cerchio: x2 + y2 = r2

Ellisse: A2x2 + B2y2 = C2

Parabola: y = Kx2

Iperbole: A2x2 - B2y2 = + C2

Le equazioni precedenti sono "opportunamente posizionate". Quando l'equazione non è in una delle forme precedenti, può essere difficile dire esattamente quale tipo di sezione conica la

equazione rappresenta. C'è un semplice test, tuttavia, che può farlo. Con l'equazione scritta Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, il discriminante B2– 4AC identificherà di quale sezione conica si tratta. Se il discriminante è positivo, la sezione è un'iperbole; se è negativo, la sezione è un'ellisse; se è zero, la sezione è una parabola. Il discriminante non distinguerà tra una sezione conica propria e una degenerata come x2– y2 = 0; non distinguerà tra un'equazione che ha radici reali e una, come x2 + y2 + 1 = 0, che non lo fa.

Gli studenti che hanno familiarità con la formula quadratica riconosceranno il discriminante e con buone ragioni. Ha a che fare con la ricerca dei punti in cui la sezione conica interseca la linea all'infinito. Se il discriminante è negativo, non ci sarà soluzione, il che è coerente con il fatto che sia i cerchi che le ellissi giacciono interamente all'interno della parte finita del piano. Le parabole portano a un'unica radice e sono tangenti alla linea all'infinito. Le iperbole portano a due radici e le attraversano in due punti.

Le sezioni coniche possono anche essere descritte con coordinate polari. Per farlo più facilmente, si usano le definizioni di focus-directrix, ponendo il focus all'origine e la direttrice in x = −k (in coordinate rettangolari). Allora l'equazione polare è r = Ke / (1− ecos θ) dove e è l'eccentricità (Figura 11).

L'eccentricità in questa equazione è numericamente uguale all'eccentricità data da un altro rapporto: CF / CV, dove CF rappresenta la distanza dal centro geometrico della sezione conica al fuoco, e CV la distanza dal centro al vertice. Nel caso di un cerchio, il centro e i fuochi sono gli stessi; quindi CF e eccentricità sono entrambi zero. Nel caso dell'ellisse, i vertici sono i punti finali dell'asse maggiore, quindi più lontani dal centro rispetto ai fuochi. CV è quindi maggiore di CF e l'eccentricità è minore di 1. Nel caso dell'iperbole, i vertici giacciono sull'asse trasversale, tra i fuochi, quindi l'eccentricità è maggiore di 1. Nel caso della parabola, il "Center" è infinitamente lontano sia dal fuoco che dal vertice; quindi (per chi ha una buona fantasia) il rapporto CF / CV è 1.

Parole chiave

Sezione conica— Una figura che risulta dall'intersezione di un cono circolare retto con un piano. Le sezioni coniche sono il cerchio, l'ellisse, la parabola e l'iperbole.

Directrix— Una linea che, insieme ad un focus, determina la forma di una sezione conica.

Eccentricità- Il rapporto centro-fuoco / centro-vertice in una sezione conica; oppure, il rapporto distanza-focalizzazione / distanza-direttrice, che è lo stesso per tutti i punti su una sezione conica. Queste due definizioni sono matematicamente equivalenti.

Messa a fuoco- Un punto, o uno di una coppia di punti, la cui posizione determina la forma di una sezione conica.

Risorse

Libri

Finney, Ross L., et al. Calcolo: grafico, numerico, algebrico di una singola variabile. Reading, MA: Addison Wesley Publishing Co., 1994.

Gullberg, Jan e Peter Hilton. Matematica: dalla nascita dei numeri. WW Norton & Company, 1997.

Altro

Sellers, James A. "Un'introduzione alle sezioni coniche" Istituto Krell. (visitato il 7 ottobre 2006).

J. Paul Moulton